Question

已知△ABC中，AC=1，∠ABC=

2π

3

，∠BAC=x，记f(x)=

AB

•

BC

．
（1）求f（x）解析式及定义域；
（2）设g（x）=6m•f（x）+1，x∈(0，

π

3

)，是否存在正实数m，使函数g（x）的值域为(1，

3

2

]？若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）AC=1，∠ABC=

2π

3

，∠BAC=x，结合正弦定理，可以表示出BC、AB边的长，根据边长为正，可求出x的取值范围，即定义域，同时我们不难给出求f（x）解析式．
（2）由（1）的结论写出g（x）的解析式，并求出g（x）的值域（边界含参数），利用集合相等，边界值也相等，易确定参数的值．

解答：解：（1）由正弦定理有：

BC

sinx

=

1

sin 2π 3

=

AB

sin( π 3 -x)

BC=

1

sin 2π 3

sinx，AB=

sin( π 3 -x)

sin 2π 3

∴f(x)=

AB

•

BC

=

4

3

sinx•sin(

π

3

-x)•

1

2

=

2

3

(

3

2

cosx-

1

2

sinx)sinx=

1

3

sin(2x+

π

6

)-

1

6

(0＜x＜

π

3

)
（2）g（x）=6mf（x）+1=2msin(2x+

π

6

)-m+1(0＜x＜

π

3

)
假设存在实数m符合题意，∵x∈(0，

π

3

)，∴

π

6

＜2x+

π

6

＜

5π

6

，则sin(2x+

π

6

)∈(

1

2

，1]．
因为m＞0时，g(x)=2msin(2x+

π

6

)-m+1的值域为（1，m+1]．
又g（x）的值域为(1，

3

2

]，解得m=

1

2

；
∴存在实数m=

1

2

，使函数f（x）的值域恰为(1，

3

2

]．

点评：本题考查的比较综合的考查了三角函数的性质，根据已知条件，及第一步的要求，我们断定求出向量的模，即对应线段的长度是本题的切入点，利用正弦定理求出边长后，易得函数的解析式和定义域，故根据已知条件和未知的结论，分析它们之间的联系，进而找出解题的方向是解题的关键．