Question

15．设抛物线C₁：y²=2px（p＞0）的焦点F是双曲线C₂：$\frac{x^2}{a^2}$-$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）右焦点．若曲线C₁与C₂的公共弦AB恰好过F，则双曲线C₁的离心率e的值为$\sqrt{2}$+1．

Answer 1

分析 由题意，交点为（$\frac{p}{2}$，p），代入双曲线方程得$\frac{\frac{{p}^{2}}{4}}{{a}^{2}}-\frac{{p}^{2}}{{b}^{2}}$=1，结合$\frac{p}{2}$=c，即可求得双曲线C₁的离心率e的值．

解答 解：由题意，交点为（$\frac{p}{2}$，p），代入双曲线方程得$\frac{\frac{{p}^{2}}{4}}{{a}^{2}}-\frac{{p}^{2}}{{b}^{2}}$=1，
又$\frac{p}{2}$=c
∴代入化简得 c⁴-6a²c²+a⁴=0
∴e⁴-6e²+1=0
e²=3+2$\sqrt{2}$=（1+$\sqrt{2}$）²，
∴e=$\sqrt{2}$+1．
故答案为：$\sqrt{2}$+1．

点评 本题考查双曲线与抛物线的定义，考查双曲线的几何性质，解题的关键是确定关于几何量的等式．