Question

已知f（x）=log₂x，若2，f（a₁），f（a₂），f（a₃），…，f（a_n），2n+4，…（n∈N^*）成等差数列．
（1）求数列{a_n}（n∈N^*）的通项公式；
（2）设g（k）是不等式整数解的个数，求g（k）；
（3）在（2）的条件下，试求一个数列{b_n}，使得．

Answer 1

解：（1）2n+4=2+（n+1）d，
∴d=2 f（a_n）=2+（n+1-1）•2=2（n+1）
即log₂a_n=2n+2，
∴a_n=2²ⁿ⁺²
（2），
∴，
得，x²-3•2^k+1x+2^2（k+1）+1≤0，即x²-3•2^k+1x+2•（2^k+1）²≤0，
∴（x-2^k+1）（x-2•2^k+1）≤0，
∴2^k+1≤x≤2•2^k+1
则g（k）=2^k+1+1
（3），
取b_n=2ⁿ⁺¹，
则
．
∴b_n=2ⁿ⁺¹
分析：（1）先弄清数列的项数，然后根据等差数列的通项公式求出公差d，从而求出f（a_n）的值，即可求出数列{a_n}（n∈N^*）的通项公式；
（2）将a_k代入不等式，然后根据对数的运算性质进行化简变形，然后因式分解得（x-2^k+1）（x-2•2^k+1）≤0，从而求出x的范围，即可求出g（k）；
（3）将进行裂项得，可取b_n=2ⁿ⁺¹，然后验证是否成立．
点评：本题主要考查了数列与不等式的综合运用，同时考查了裂项求和法和计算能力，属于中档题．