Question

【题目】已知函数，

（Ⅰ）讨论的单调性；

（Ⅱ）存在正实数k使得函数有三个零点，求实数a的取值范围.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）时增区间为；时，增区间为，减区间为； （Ⅱ）.

【解析】

（Ⅰ）先求出函数的定义域和导函数，分和讨论导函数的符号，即可求得函数的单调区间；

（Ⅱ）由题易知，函数有三个零点等价于有三个解，即仅有三解，利用分离参数法求解即可.

（Ⅰ）（），

①当时，恒成立，则在上单调递增；

②当时，得：.

当时，，单调递增，

当时，，单调递减，

综上，时，的增区间为，

时，的增区间为，减区间为；

（Ⅱ）由题易知，

即有三个解，，

即仅有三解，

设，，

可得，即，

设，则，得，

时，，单调递增，

时，，单调递减（同时注意时，），

，

当时，恒成立，此时均符合条件，

当时，由两个根不妨设为，且，

有两根，不妨设为，则，，则，

容易分析出在，单调递增，单调递减，

则当时，

这里需要求和的取值范围，

由上面分析可得，则，

，，

设，，，

易知在上单调递增，

，则，∴，

同理，，

由上面分析在单调递减，且时，，

∴. ∴，

综上：.