Question

（本小题满分12分）在三棱柱中，侧面为矩形，，，为的中点，与交于点，侧面.

（1）证明：；
（2）若，求直线与平面所成角的正弦值.

Answer 1

（1）证明过程详见解析；（2）.

试题分析：本题以三棱柱为几何背景考查线线垂直的判定和线面垂直的判定以及线面角的求法，可以运用空间向量法求解，突出考查考生的空间想象能力和推理论证能力以及计算能力.第一问，由于侧面为矩形，所以在直角三角形和直角三角形中可求出和的正切值相等，从而判断2个角相等，通过转化角得到， 又由于线面垂直，可得，所以可证， 从而得证；第二问，根据已知条件建立空间直角坐标系，写出各个点的坐标，根据，求出平面的法向量，再利用夹角公式求出直线和平面所成角的正弦值.
试题解析：(1)证明：由题意,
注意到,所以,
所以,
所以,      3分
又侧面，
又与交于点，所以,
又因为,所以        6分
(2)如图，分别以所在的直线为轴，以为原点，建立空间直角坐标系

则，，，，，
又因为，所以        8分
所以，，
设平面的法向量为，
则根据可得是平面的一个法向量,
设直线与平面所成角为，则   12分