Question

 如图,已知AB,CD是圆O的两条平行弦,过点A引圆O的切线EP与DC的延长线交于点P,F为上的一点,弦FA,FB分别与CD交于点G,H.

(1) 求证:GP·GH=GC·GD;

(2) 若AB=AF=3GH=9,DH=6,求PA的长.

　

Answer 1

 (1) 因为PE与圆O切于点A,

所以∠EAB=∠BFA.

因为AB∥CD,

所以∠EAB=∠APD.

在HGF和AGP中,

所以HGF∽△AGP,

所以GH·GP=GF·GA.

又因为GC·GD=GF·GA,

所以GP·GH=GC·GD.

(2) 因为AB=AF,

所以∠ABF=∠AFB=∠APH.

又因为AB∥CD,

所以四边形ABHP是平行四边形,

所以AB=PH=9,

所以GP=PH-GH=6,

所以GC===2,

所以PC=GP-GC=4.

因为PA是☉O的切线,

所以PA2=PC·PD,所以PA=2.