Question

△ABC，a、b、c分别为角A、B、C的对边，且

cosB

cosC

=-

b

2a+c

．
（1）求角B的大小；
（2）若b=

13

，a+c=4，求a与S_△．

Answer 1

分析：（1）利用余弦定理表示出cosB和cosC代入到

cosB

cosC

=-

b

2a+c

中化所以a²+c²=b²，根据勾股定理的逆定理得∠B=90°；
（2）把a+c=4两边平方得ac的值，因为三角形为直角三角形，所以

ac

2

为三角形的面积，在由a+c=4得c=4-a代入到a²+c²=b²=13中即可求出a．

解答：解：（1）根据余弦定理得：cosB=

a2+c2-b2

2ac

，cosC=

a2+b2-c2

2ab

，由

cosB

cosC

=-

b

2a+c

得

a2+c2-b2 2ac

a2+b2-c2 2ab

=-

b

2a+c

化简得a（a²+c²-b²）=0，因为a≠0，所以a²+c²=b²，根据勾股定理的逆定理得∠B=90°
（2）把a+c=4两边平方得：a²+2ac+c²=16，
因为a²+c²=b²=(

13

)2=13，
所以ac=

3

2

，
所以s_△=

ac

2

=

3

4

；
把c=4-a代入a²+c²=b²=(

13

)2=13，
得a²+（a-4）²=13，
因为a＞0，则a=

4+ 22

2

点评：考查学生利用余弦定理解决数学问题的能力，勾股定理及逆定理在做题中的应用．