Question

（2013•龙泉驿区模拟）已知函数f（x）=

3

sinxcosx-cos2x-

1

2

，x∈R．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小值和最小正周期；
（Ⅱ）已知△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且c=3，f（C）=0，若向量

m

=(1，sinA)与

n

=(2，sinB)共线，求a，b的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用三角函数的恒等变换化简函数f（x）的解析式为 sin（2x-

π

6

）-1，由此求出最小值和周期．
（Ⅱ）由f（C）=0可得sin（2C-

π

6

）=1，再根据C的范围求出角C的值，根据两个向量共线的性质可得 sinB-2sinA=0，再由正弦定理可得 b=2a．再由余弦定理得9=a2 +b2-2abcos

π

3

，求出a，b的值．

解答：解：（Ⅰ）函数f（x）=

3

sinxcosx-cos2x-

1

2

=

3

2

sin2x-

1

2

cos2x-1=sin（2x-

π

6

）-1，
∴f（x）的最小值为-2，最小正周期为π．…（5分）
（Ⅱ）∵f（C）=sin（2C-

π

6

）-1=0，即  sin（2C-

π

6

）=1，
又∵0＜C＜π，-

π

6

＜2C-

π

6

＜

11π

6

，∴2C-

π

6

=

π

2

，∴C=

π

3

．  …（7分）
∵向量

m

=(1，sinA)与

n

=(2，sinB)共线，∴sinB-2sinA=0．
由正弦定理  

a

sinA

=

b

sinB

，得 b=2a，①…（9分）
∵c=3，由余弦定理得9=a2 +b2-2abcos

π

3

，②…（11分）
解方程组①②，得 a=

3

 b=2

3

．       …（13分）

点评：本题主要考查三角函数的恒等变换，正弦函数的周期性、定义域和值域，两个向量共线的性质，正弦定理、余弦定理的应用，属于中档题．