Question

【题目】在直角坐标系中，以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为．

（Ⅰ）求与的直角坐标方程；

（Ⅱ）若与的交于点，与交于、两点，求的面积．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）的普通方程为,曲线的普通方程

（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）由曲线C1的极坐标方程能求出曲线C1的普通方程，由曲线C2的极坐标方程能求出曲线C2的普通方程．

（Ⅱ）由曲线C3的极坐标方程求出曲线C3的普通方程，联立C1与C2得x2﹣2x+1＝0，解得点P坐标（1，4），从而点P到C3的距离d．设A（ρ1，θ1），B（ρ2，θ2）．将代入C2，得，求出|AB|＝|ρ1﹣ρ2|，由此能求出△PAB的面积．

（Ⅰ）曲线的极坐标方程为，

根据题意，曲线的普通方程为

曲线的极坐标方程为，

曲线的普通方程为，即

（Ⅱ）曲线的极坐标方程为，

曲线的普通方程为

联立与:

得，解得点P的坐标

点P到的距离.

设将代入，得

则，

,

.