Question

【题目】过抛物线的焦点且斜率为1的直线与抛物线交于、两点，且.

（1）求抛物线的方程；

（2）点是抛物线上异于、的任意一点，直线、与抛物线的准线分别交于点、，求证：为定值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）证明见解析

【解析】

（1）根据题意，设直线，与抛物线方程联立，再利用抛物线定义，由求解.

（2）设，得到直线，令，得到，再根据点均在抛物线上 ，将，，代入化简得到，同理可得点的纵坐标为，然后由数量积坐标运算求解.

（1）由题意知，则直线，

代入抛物线，化简得，

设，则，

因抛物线的准线方程为，

由抛物线的定义得，

，

故抛物线的方程为.

（2）设，则直线，

当时，，

∵点均在抛物线上

∴，

∴，

即点的纵坐标为，

同理可得点的纵坐标为，

∴，

由（1）知，

∴

∴，为定值.