Question

（本小题满分13分）已知函数f （x）＝ln x－a2x2＋ax （a∈)．

（1）当a＝1时，求函数f （x)的单调区间；

（2）若函数f （x)在区间 （1，＋∞)上是减函数，求实数a的取值范围．

Answer 1

（1）函数的单调递增区间是，单调递减区间是;

（2）实数a的取值范围是．

【解析】

试题分析：（1）当时，，定义域是．首先求得：，再利用导数的符号判断函数 的单调性并求单调区间；

（2）首先求出函数的导数，因为函数f （x)在区间 （1，＋∞)上是减函数，所以所以在上恒成立；转化为二次函数、二次方程与二次不等式问题．

试题解析：【解析】
（Ⅰ）当时，，定义域是．

，

由，解得；由，解得；

所以函数的单调递增区间是，单调递减区间是． 5分

（2）（法一）

因为函数在区间上是减函数，所以在上恒成立，

则，即在上恒成立． 7分

当时，，所以不成立． 9分

当时，，，对称轴．

，即，解得

所以实数a的取值范围是． 13分

（法二），定义域是．

①当时，在区间上是增函数，所以不成立． 8分

②时，

令，即，则， 9分

（1）当时，由，解得，

所以函数的单调递减区间是．

因为函数在区间上是减函数，+所以，解得． 11分

（2）当时，由，解得，

所以函数的单调递减区间是．

因为函数在区间上是减函数，所以，解得．

综上实数a的取值范围是． 13分

考点：1、导数在研究函数性质中的应用；2、二次函数、二次方程与一元二次不等式综合问题；3、等价转化的思想与数形结合的思想．