Question

Answer 1

证：设，，．过点作斜率为的直线，则直线的方程为

                    ①

    设直线交与点、交于点，为中点．

由得：

，．

两式相减后化简后可得：

．

    ∴ 在直线上。从而为中点．

    设直线的斜率为，则直线的方程为                ②

    故是方程的两根．整理得：

    将代入上式，得：

 

    将其视为关于的一元二次方程．由韦达定理，有

                       ③

    联立①②，消去得到．

    比较③式得：．

    从而              ．

    下面利用平几知识证明三点共线．

    首先假设三点共线，来证明：．

    过做直线∥，交与．设为中点．

由于∥∥，∴ 的中点共线（过点）．

∴ ．整理即得：．

    反之，用同一法可证明当时三点共线．