Question

已知函数f（x）满足f（x+y）=f（x）•f（y），且f（1）=

1

2

．
（1）当n∈N^*时，求f（n）的表达式；
（2）设a_n=n•f（n），n∈N^*，求证a₁+a₂+a₃+…+a_n＜2；
（3）设b_n=（9-n）

f(n+1)

f(n)

，n∈N^*，S_n为b_n的前n项和，当S_n最大时，求n的值．

Answer 1

分析：（1）由于函数f（x）满足f（x+y）=f（x）•f（y）对任意的实数x，y都成立，故可令x=n，y=1，再由f（1）=

1

2

得到f（n）的表达式；
（2）由（1）知，a_n=n•f（n）=n(

1

2

)n，故可用错位相减法求出a₁+a₂+a₃+…+a_n的表达式，即可得证；
（3）由（1）和b_n=（9-n）

f(n+1)

f(n)

，n∈N^*可求b_n的表达式，进而求出S_n，由于数列为一种特殊函数，故可利用函数单调性得到S_n最大时的n值．

解答：解：（1）令x=n．y=1，得到f（n+1）=f（n）•f（1）=

1

2

f（n），
所以{f（n）}是首项为

1

2

、公比为

1

2

的等比数列，即f（n）=(

1

2

)n；
（2）∵an=nf(n)=n•(

1

2

)n，∴Sn=

1

2

+2×(

1

2

)2+…+n×(

1

2

)n，
∴

1

2

Sn=(

1

2

)2+2×(

1

2

)3 +…+n×(

1

2

)n+1，
两式相减得：∴

1

2

Sn=

1

2

+(

1

2

)2+(

1

2

)3 +…+(

1

2

)n-n×(

1

2

)n+1，
整理得∴ Sn=

1

2

-(

1

2

)n-1-n×(

1

2

)n＜2．
（3）∵f（n）=(

1

2

)n，而b_n=（9-n）

f(n+1)

f(n)

，n∈N^*，则b_n=

9-n

2

，
当n≤8时，b_n＞0；当n=9时，b_n=0；当n＞9时，b_n＜0；
∴n=8或9时，S_n取到最大值．

点评：本题主要考查数列求和的错位相减法法、等比数列的前n项和公式，着重考查考生的运算能力．