题目内容

已知函数 $数学公式$
（1）当 $数学公式$ 时，求f（x）的单调递减区间；
（2）若当x＞0时，f（x）＞1恒成立，求a的取值范围；
（3）求证： $数学公式$ ．

（1）解：当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ （x＞-1）
令f′（x）＜0，可得 $\text{[math]}$ ，∴f（x）的单调递减区间为 $\text{[math]}$ …（4分）
（2）解：由 $\text{[math]}$ 得a＞（x+2）-（x+2）ln（x+1）
记g（x）=（x+2）[1-ln（x+1）]，则 $\text{[math]}$
当x＞0时 g′（x）＜0，∴g（x）在（0，+∞）递减
又g（0）=2•[1-ln1]=2，∴g（x）＜2（x＞0），∴a≥2…（8分）
（3）证明：由（Ⅱ）知 $\text{[math]}$ （x＞0）
∴ $\text{[math]}$
取 $\text{[math]}$ 得 $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ …（12分）
分析：（1）求导数，利用导数小于0，即可求f（x）的单调递减区间；
（2）由 $\text{[math]}$ 得a＞（x+2）-（x+2）ln（x+1），记g（x）=（x+2）[1-ln（x+1）]，确定函数的最值，即可求a的取值范围；
（3）先证明 $\text{[math]}$ ，取 $\text{[math]}$ ，即可证得结论．
点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查不等式的证明，属于中档题．