题目内容
11．已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足an+2Sn•Sn-1=0（n≥2），a1=$\frac{1}{2}$．（1）求证：{$\frac{1}{{S}_{n}}$}是等差数列；
（2）求数列{an}的前2011项的和．
分析 （1）由an+2Sn•Sn-1=0（n≥2），可得Sn-Sn-1+2Sn•Sn-1=0，化为$\frac{1}{{S}_{n}}-\frac{1}{{S}_{n-1}}$=2，即可证明．
（2）由（1）可得：${S}_{n}=\frac{1}{2n}$．即可得出．
解答 （1）证明：∵an+2Sn•Sn-1=0（n≥2），∴Sn-Sn-1+2Sn•Sn-1=0，化为$\frac{1}{{S}_{n}}-\frac{1}{{S}_{n-1}}$=2，
∴{$\frac{1}{{S}_{n}}$}是等差数列，首项为2，公差为2；
（2）解：由（1）可得：$\frac{1}{{S}_{n}}$=2+2（n-1）=2n，
∴${S}_{n}=\frac{1}{2n}$．
∴数列{an}的前2011项的和=$\frac{1}{2×2011}$=$\frac{1}{4022}$．
点评 本题考查了递推关系、等差数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
练习册系列答案
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19．下列六个关系式中正确的个数是（ ）
①{1，0，-1}={-1，0，1}
②{a，b}⊆{b，a}
③{a}=a
④∅?{0}
⑤0∈{x|x＜1，x∈R}
⑥{1，3，5}?{x|x是10以内的质数}．
①{1，0，-1}={-1，0，1}
②{a，b}⊆{b，a}
③{a}=a
④∅?{0}
⑤0∈{x|x＜1，x∈R}
⑥{1，3，5}?{x|x是10以内的质数}．
| A． | 2 | B． | 3 | C． | 4 | D． | 5 |
6．若p为非负实数，随机变量ξ的分布列如下表，则Eξ的最大值为$\frac{3}{2}$，D（ξ）的最小值为$\frac{1}{4}$．
| ξ | 0 | 1 | 2 |
| P | $\frac{1}{2}$-p | p | $\frac{1}{2}$ |
16．若函数f（x）=$\frac{{x}^{3}}{3}$-ax2+bx+1在区间（$\frac{1}{2}$，3）上有极值点，且在点（0，1）处的切线与直线x+y-2=0垂直，则实数a的取值范围是（ ）
| A． | （1，$\frac{5}{4}$） | B． | （1，$\frac{5}{3}$） | C． | [1，$\frac{5}{4}$） | D． | [1，$\frac{5}{3}$） |
3．任意确定四个日期，其中至少有两个是星期天的概率为（ ）
| A． | $\frac{241}{2401}$ | B． | $\frac{1105}{2401}$ | C． | $\frac{1}{2}$ | D． | $\frac{4}{7}$ |