题目内容
已知函数f（x）=
（x∈[2，6]）．试判断此函数在x∈[2，6]上的单调性并求函数在x∈[2，6]上的最大值和最小值．
| 3 | x-1 |
分析：先用定义判断单调性，根据单调性可求得函数的最大值最小值．
解答：解：设x1、x2是区间[2，6]上的任意两个实数，且x1＜x2，
则f(x1)-f(x2)=
-
=
=
．
由2≤x1＜x2≤6，得x2-x1＞0，（x1-1）（x2-1）＞0，
于是f（x1）-f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2）．
所以函数f（x）=
是区间[2，6]上的减函数．
因此，函数f（x）=
在区间的两个端点上分别取得最大值与最小值，
最大值f（2）=3，最小值f（6）=
．
则f(x1)-f(x2)=
| 3 |
| x1-1 |
| 3 |
| x2-1 |
=
| 3[(x2-1)-(x1-1)] |
| (x1-1)(x2-1) |
=
| 3(x2-x1) |
| (x1-1)(x2-1) |
由2≤x1＜x2≤6，得x2-x1＞0，（x1-1）（x2-1）＞0，
于是f（x1）-f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2）．
所以函数f（x）=
| 3 |
| x-1 |
因此，函数f（x）=
| 3 |
| x-1 |
最大值f（2）=3，最小值f（6）=
| 3 |
| 5 |
点评：本题考查函数单调性的判断及其应用，考查函数最值的求解，数基础题．
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