Question

（本小题满分13分）

已知椭圆C的对称轴为坐标轴，且短轴长为4，离心率为。

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）设椭圆C的焦点在y轴上，斜率为1的直线l与C相交于A，B两点，且

，求直线l的方程。

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）（Ⅱ）

【解析】

试题分析：（Ⅰ）设椭圆C的长半轴长为a（a>0），短半轴长为b（b>0），

则2b=4，。            2分

解得a=4，b=2。                      3分

因为椭圆C的对称轴为坐标轴，

所以椭圆C的方程为标准方程，且为。     5分

（Ⅱ）设直线l的方程为，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）,     6分

由方程组，消去y，

得，      7分

由题意，得， 8分

且，  9分

因为

， 11分

所以，解得m=±2,

验证知△＞0成立，

所以直线l的方程为。      13分

考点：椭圆方程几何性质及直线与椭圆相交弦长问题

点评：直线与椭圆相交问题常借助与韦达定理设而不求简化计算，本题涉及到的弦长公式，其中k是直线斜率，是两交点横坐标