Question

12．设函数f（x）=$\frac{1}{2}$ax²-x-lnx，a∈R
（1）当a=2时，求函数f（x）的极值；
（2）若f（x）在[2，+∞）上单调递增，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极小值即可；
（2）求出函数的导数，通过讨论a的范围，结合二次函数的性质，得到关于a的不等式组，求出a的范围即可．

解答 解：（1）a=2时，f（x）=x²-x-lnx，（x＞0），
f′（x）=2x-1-$\frac{1}{x}$=$\frac{（2x+1）（x-1）}{x}$，
令f′（x）＞0，解得：x＞1，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜1，
∴f（x）在（0，1）递减，在（1，+∞）递增，
∴f（x）_极小值=f（1）=0；
（2）f′（x）=ax-1-$\frac{1}{x}$$\frac{{ax}^{2}-x-1}{x}$，
若f（x）在[2，+∞）递增，
则g（x）=ax²-x-1≥0在[2，+∞）恒成立，
a=0时，-x-1≥0在[2，+∞）不成立，
a≠0时，显然a＞0，
由$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2a}＜2}\\{g（2）=4a-2-1≥0}\\{a＞0}\end{array}\right.$，解得：a≥$\frac{3}{4}$．

点评 本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用以及二次函数的性质，是一道中档题．