Question

已知圆C的圆心在y轴上，半径为1，且经过点P（1，2）．
（1）求圆的方程；
（2）直线l过点P且在圆上截得的弦长为

3

，求l的方程．

Answer 1

分析：（1）设圆心的坐标为（0，b），则由题意可得  1=

1+(b-2)2

，解出 b 即得圆心坐标，根据半径
求得圆的方程．
（2）当l的斜率不存在时，经检验不满足条件．当l的斜率存在时，用点斜式设 l的方程，由弦长公式求得
圆心到直线l 的距离，此距离就是圆心到直线的距离，求出 k 值，即得所求的直线方程．

解答：解：（1）设圆心的坐标为（0，b），则由题意可得  1=

1+(b-2)2

，∴b=2，
故圆心为（0，2），故所求的圆的方程为 x²+（y-2）²=1．
（2）当l的斜率不存在时，l的方程为 x=1，此时，直线l和圆相切，不满足条件．
当l的斜率存在时，设斜率为k，则l的方程为 y-2=k（x-1），即 kx-y+2-k=0．
设圆心（0，2）到直线l 的距离为d，则由弦长公式可得 

3

=2

1-d2

，∴d=

1

2

．
由点到直线的距离公式可得 

1

2

=

|0-2+2-k|

k2+1

，∴k²=

1

3

，∴k=

3

3

，或 k=-

3

3

．
故l的方程为

3

3

x-y+2-

3

3

=0，或-

3

3

x-y+2+

3

3

=0．
综上，l的方程为

3

x-3y+6-

3

=0，或

3

x+3y-6-

3

=0．

点评：本题考查圆的标准方程，点到直线的距离公式，弦长公式的应用，体现了分类讨论的数学思想，求出圆心到
直线l 的距离d是解题的关键，属于中档题．