Question

（09年武汉二中调研）（12分）如图，在棱长为2的正方体ABCD―A₁B₁C₁D₁中，M为AB中点.

   （1）求直线B₁C与DM所成角的余弦值；

   （2）求点M到平面DB₁C的距离；

   （3）求二面角M―B­­₁C―D的大小.

 

 

 

 

 

 

Answer 1

解析：（1）连A₁D，则由A₁D//B₁C知，B₁C与DM所成角即为A₁D与DM所成角.连A₁M，则由正方体棱长为2得A₁D=，A₁M=DM=

∴cos∠A₁DM=，即直线B₁C与DM所成角的余弦值是………………（6分）

  

（2）正方体AC₁中，AB//DC，

AB平面DB₁C得AB//平面DB₁C，

点M在AB上

∴点M到平面DB₁C的距离等于点B

到平面DB₁C的距离，在平面BC₁内作

BO⊥B₁C，则O为B_­1C中点.由DC⊥

平面BC₁知BO⊥DC，

∵DCB₁C=C.

∴BO⊥平面DB₁C

∴BO长即为点B（点M）到平面DB₁C的距离，由于

所以点M到平面DB₁C的距离为.………………（文12分）

   （3）由题设可知MB₁=MC=.DC⊥B₁C

设R为DB₁中点，连MO，OR则有MO⊥B₁C，OR⊥B₁C，所以∠MOR为所求二面角M―B₁C―D的平面角.连MR，则可计算得

MO=

MR=

∴∠MRO=Rt∠，从而cos∠MOR=即二面角

M―B₁C―D的大小为………………（理12分）