Question

设数列{a_n}，{b_n}满足a₁=1，b₁=0且
（Ⅰ）求λ的值，使得数列{a_n+λb_n}为等比数列；
（Ⅱ）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（Ⅲ）令数列{a_n}和{b_n}的前n项和分别为S_n和S'_n，求极限的值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）令c_n=a_n+λb_n，其中λ为常数，通过{c_n}为等比数列，则存在q≠0使得c_n+1=a_n+1+λb_n+1=q（a_n+λb_n）．
推出（2+λ-q）a_n+（3+2λ-λq）b_n=0，n=1，2，3，然后列出方程组消去q解得．然后验证当时，数列为等比数列．即可．
（Ⅱ）利用（Ⅰ）直接求出数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（Ⅲ）令数列{d_n}的通项公式为，它是公比为的等比数列，令其前n项和为P_n；令数列{e_n}的通项公式为，它是公比为的等比数列，令其前n项和为P'_n．求出，由于，则，于是，通过，然后求解．
解答：解：满分（12分）．
（Ⅰ）令c_n=a_n+λb_n，其中λ为常数，若{c_n}为等比数列，则存在q≠0使得c_n+1=a_n+1+λb_n+1=q（a_n+λb_n）．
又a_n+1+λb_n+1=2a_n+3b_n+λ（a_n+2b_n）=（2+λ）a_n+（3+2λ）b_n．
所以q（a_n+λb_n）=（2+λ）a_n+（3+2λ）b_n．
由此得（2+λ-q）a_n+（3+2λ-λq）b_n=0，n=1，2，3，（2分）
由a₁=1，b₁=0及已知递推式可求得a₂=2，b₂=1，把它们代入上式后得方程组消去q解得．    （4分）
下面验证当时，数列为等比数列．（n=1，2，3，…），，从而是公比为的等比数列．
同理可知是公比为的等比数列，于是为所求．（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）的结果得，，解得，．（9分）
（Ⅲ）令数列{d_n}的通项公式为，它是公比为的等比数列，令其前n项和为P_n；
令数列{e_n}的通项公式为，它是公比为的等比数列，令其前n项和为P'_n．
由第（Ⅱ）问得，．．
由于数列{e_n}的公比，则．，
由于，则，
于是，所以（12分）
点评：本小题主要考查数列的概念与性质，等比数列的证明，待定系数法，数列求和与数列极限，考查思维能力、运算能力和综合解题的能力．