题目内容

正三角形的一个顶点位于坐标原点,另外两个顶点在抛物线y2=72x上,则这个正三角形的边长是________________________.

思路分析：设正三角形OAB的顶点A、B在抛物线上,A(x1,y1)、B(x2,y2),则y12=72x1,y22=72x2.

由|OA|=|OB|,得x12+y12=x22+y22.∴x12+2px1-x22-2px2=0.∴x1=x2.

∴线段AB关于x轴对称.∴∠AOx=30°.

∴=tan30°=.∵x1=∴y1=.∴|AB|=.

答案:

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正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线y2=2x上，则这个正三角形的边长是
 
．
若正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线y2=2px（p＞0）上，则这个正三角形的面积是（　　）
（1）求焦点为（0，-6），（0，6）且经过点（2，-5）的双曲线方程；
（2）正三角形的一个顶点位于抛物线y2=2px（p＞0）的焦点，另外两个顶点在抛物线上，求正三角形的边长．
以下四个命题：
①平面内与一定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹是抛物线；
②抛物线y=ax2的焦点到原点的距离是
|a|
4
；
③直线l与抛物线y2=2px（p＞0）交于两点A（x1，y1），B（x2，y2），则|AB|=x1+x2+p；
④正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线y2=2px（p＞0）上，则此正三角形的边长为4
3
p．其中正确命题的序号是
④
④
．
正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线y2=2px（p＞0）上，求这个正三角形的边长．

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