Question

已知圆C：x²+y²-4x=0，
（1）求圆C被直线x+y=0截得的弦长；
（2）点A为圆C上的动点，求弦OA的中点M的轨迹方程．

Answer 1

分析：（1）把圆C的方程化为标准方程，找出圆心C的坐标和半径r，利用点到直线的距离公式求出圆心到直线x+y=0的距离d，即为弦心距，再由半径r，利用垂径定理及勾股定理即可求出弦长；
（2）设点M的坐标为（x，y），点A的坐标为（x₀，y₀），由M为AO的中点，根据A和O的坐标，利用中点坐标公式得出M坐标与A坐标的关系，用M的横纵坐标表示出A的横纵坐标，根据A在圆C上，把表示出的A坐标代入圆C的方程，整理后即可得到M的轨迹方程．

解答：（本小题满分14分）
解：（1）圆C方程为（x-2）²+y²=4，则圆心C（2，0），半径r=2，…（3分）
又圆心C到直线x+y=0的距离为d=

2

2

=

2

，…（5分）
∴所求弦长为2

r2-d2

=2

4-2

=2

2

；…（7分）
（2）设点M的坐标为（x，y），点A的坐标为（x₀，y₀），…（8分）
∵M为OA的中点，
∴

x= x0 2 y= y0 2

，变形得：

x0=2x y0=2y

，…（11分）
又∵点A在圆C上，
∴x02+y02-4x0=0，
∴（2x）²+（2y）²-4•2x=0，
整理得：x²+y²-2x=0，即（x-1）²+y²=1，…（13分）
∴所求的点M的轨迹方程为（x-1）²+y²=1．…（14分）

点评：此题考查了直线与圆的位置关系，以及动点的轨迹方程，涉及的知识有：圆的标准方程，点到直线的距离公式，勾股定理，垂径定理，线段中点坐标公式，是一道综合性较强的题．