Question

【题目】如图，是一个半圆柱与多面体构成的几何体，平面与半圆柱的下底面共面，且， 为弧上（不与重合）的动点.

（1）证明： 平面；

（2）若四边形为正方形，且， ，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】(1)证明见解析；(2) .

【解析】试题分析：（1）由平面，可得，由是上底面对应圆的直径，可得，根据线面垂直的判定定理可得平面；（2）以为坐标原点，以 为轴，过作与平面垂直的直线为轴，建立空间直角坐标系，利用向量垂直数量积为零，列方程组分别求出平面与平面的一个法向量，利用空间向量夹角余弦公式可得面角的余弦值.

试题解析：（1）在半圆柱中， 平面，所以.

因为是上底面对应圆的直径，所以.

因为， 平面， ，所以平面.

（2）以为坐标原点，以 为轴，过作与平面 垂直的直线为轴，建立空间直角坐标系.如图所示，

设，则， ， ， ， .

所以， .

平面的一个法向量.

设平面的一个法向量，则，令，则，

所以可取，所以.

由图可知二面角为钝角，所以所求二面角的余弦值为.

【方法点晴】本题主要考查线面垂直的判定定理以及利用空间向量求二面角，属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.