Question

（本小题满分12分）已知数列的前项和为，，且
（Ⅰ）写出与的递推关系式（）；
（Ⅱ）求关于的表达式；
（Ⅲ）设，求数列的前项和。

Answer 1

(Ⅰ)   (Ⅱ)  （Ⅲ）

法1：（Ⅰ）由及得
即
∴
（Ⅱ）由得

∴是首项为1，公差为1的等差数列，
故
∴
（Ⅲ）∵
∴
∴
∴………………①
当时，；
当时，；
当时………………②
由①－②得
；
∴
综上得。
解法二、
（Ⅰ）由及得


猜测。用数学归纳法证明如下：
（1）时，猜测成立；
（2）假设时，命题成立，即，则

∴，即，即时命题也成立。
综合（1）、（2）知对于都有
所以，故。
（Ⅱ），证明见（Ⅰ）。
（Ⅲ）同法一。