题目内容


如图，矩形ABCD中，|AB|＝2，|BC|＝2．E，F，G，H分别是矩形四条边的中点，分别以HF，EG所在的直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系，已知＝λ，＝λ，其中0＜λ＜1．

（Ⅰ）求证：直线ER与GR′的交点M在椭圆Γ：＋y2＝1上；

（Ⅱ）若点N是直线l：y＝x＋2上且不在坐标轴上的任意一点，F1、F2分别为椭圆Γ的左、右焦点，直线NF1和NF2与椭圆Γ的交点分别为P、Q和S、T．是否存在点N，使得直线OP、OQ、OS、OT的斜率kOP、kOQ、kOS、kOT满足kOP＋kOQ＋kOS＋kOT＝0？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．


解：（Ⅰ）由已知，得F(，0)，C(，1)．

由＝λ，＝λ，得R(λ，0)，R′(，1－λ)．

又E(0，－1)，G(0，1)，则

直线ER的方程为y＝x－1，       ①

直线GR′的方程为y＝－x＋1．      ②

由①②，得M(，)．

∵＋()2＝＝＝1，

∴直线ER与GR′的交点M在椭圆Γ：＋y2＝1上．

（Ⅱ）假设满足条件的点N(x0，y0)存在，则

直线NF1的方程为y＝k1(x＋1)，其中k1＝，

直线NF2的方程为y＝k2(x－1)，其中k2＝．

由消去y并化简，得(2k＋1)x2＋4kx＋2k－2＝0．

设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则x1＋x2＝－，x1x2＝．

∵OP，OQ的斜率存在，∴x1≠0，x2≠0，∴k≠1．

∴kOP＋kOQ＝＋＝＋＝2k1＋k1·

＝k1(2－)＝－．

同理可得kOS＋kOT＝－．

∴kOP＋kOQ＋kOS＋kOT＝－2(＋)＝－2·

＝－．

∵kOP＋kOQ＋kOS＋kOT＝0，∴－＝0，即(k1＋k2)(k1k2－1)＝0．

由点N不在坐标轴上，知k1＋k2≠0，

∴k1k2＝1，即·＝1．      ③

又y0＝x0＋2，                      ④

解③④，得x0＝－，y0＝．

故满足条件的点N存在，其坐标为（－，）．…


练习册系列答案
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在直角坐标系内，点实施变换后，对应点为，给出以下命题：

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③椭圆上每一点实施变换后，对应点的轨迹仍是离心率不变的椭圆；

④曲线：上每一点实施变换后，对应点的轨迹是曲线，是曲线上的任意一点，是曲线上的任意一点，则的最小值为.

以上正确命题的序号是                   （写出全部正确命题的序号）.

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A．S1＜S2＜S3    B．S2＜S1＜S3    C．S1＜S3＜S2    D．S3＜S1＜S2

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已知为第二象限角，且，则的值是（   ）

A. 　　　　　B.　　　　　　　  C.　　　　　 　D.

设，，，则（    ）

A.          B.        C.         D.


过点的圆与直线相切于点,则圆的方程为        .


在的边上随机取一点, 记和的面积分别为和，则的概率是      ．

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