Question

【题目】选修4一4：坐标系与参数方程

已知在直角坐标系x0y中，曲线：（为参数），在以平面直角坐标系的原点）为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同单位长度的极坐标系中，曲线：．

（1）求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；

（2）曲线上恰好存在三个不同的点到曲线的距离相等，分别求这三个点的极坐标．

Answer 1

【答案】（1），；（2），，．

【解析】

试题分析：（1）先将曲线的方程平方，利用平方关系，消去参数，得到曲线的普通方程，将曲线的方程利用两角和的正弦公式展开，再利用，代换，得到曲线的直角坐标方程；（2）结合（1）知，曲线为圆，曲线为直线，画出图形，通过图形分析得这三个点分别在平行于直线的两条直线，上，通过直线的位置得到直线和直线的方程，再与圆的方程联立，得到三个点、、的坐标．

试题解析：（1）由题意，得

∴曲线的普通方程为．

∵曲线：，

∴曲线的直角坐标方程为．

（2）∵曲线为圆，圆心，半径为，曲线为直线，∴圆心C1到直线的距离，∵圆上恰好存在三个不同的点到直线的距离相等，∴这三个点分别在平行于直线的两条直线，上，如图所示，

设与圆相交于点E，F，设与圆相切于点G，

∴直线，分别与直线的距离为，

∴：，

：．

由得或

即，；

由得即，

∴E，F，G这三个点的极坐标分别为，，．