Question

【题目】如图，四边形ABCD是边长为4的菱形，∠BAD=60°，对角线AC与BD相交于点O，四边形ACFE为梯形，EF//AC，点E在平面ABCD上的射影为OA的中点，AE与平面ABCD所成角为45°.

（Ⅰ）求证：BD⊥平面ACF；

（Ⅱ）求平面DEF与平面ABCD所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）.

【解析】

（Ⅰ）取AO中点H，连结EH，则EH⊥BD，又AC⊥BD，由此可证；

（Ⅱ）以H为原点，HA为x轴，在平面ABCD中过H作AC的垂线为y轴，HE为z轴，建立空间直角坐标系，由（Ⅰ）知，∠EAH为AE与平面ABCD所成的角，再根据平面的法向量的夹角即可求出答案．

（Ⅰ）证：取AO中点H，连结EH，则EH⊥平面ABCD，

∵BD在平面ABCD内，∴EH⊥BD，

又菱形ABCD中，AC⊥BD，且EH∩AC=H，

EH，AC在平面EACF内，

∴BD⊥平面EACF，

∴BD⊥平面ACF；

（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知EH⊥平面ABCD，

∴以H为原点，HA为x轴，在平面ABCD中过H作AC的垂线为y轴，HE为z轴，建立空间直角坐标系，

∵EH⊥平面ABCD，∴∠EAH为AE与平面ABCD所成的角，即∠EAH=45°，

∵AB=4，∴AO=2，AH，EH，

∴H（0，0，0），A（，0，0），D（，﹣2，0），O（，0，0），E（0，0，），

平面ABCD的法向量（0，0，1），

（﹣2，0，0），（），

∵EFAC，∴（﹣2λ，0，0），

设平面DEF的法向量（x，y，z），

则，取y，得（0，，﹣2），

∴，

∴平面DEF与平面ABCD所成角的正弦值为．