题目内容
设椭圆E：
（a＞b＞0）过M（2，
），N（
，1）两点，O为坐标原点，
（1）求椭圆E的方程；
（2）是否存在圆心在原点的圆，使该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A、B，且
？若存在，写出该圆的方程，并求|AB|取值范围；若不存在，说明理由．
（a＞b＞0）过M（2，），N（，1）两点，O为坐标原点，（1）求椭圆E的方程；
（2）是否存在圆心在原点的圆，使该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A、B，且
？若存在，写出该圆的方程，并求|AB|取值范围；若不存在，说明理由．解：（1）椭圆E过M、N
∴
∴
∴椭圆E：
（2）假设存在这样的圆，设该圆的切线为y=kx+m，
由
∴（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣8=0
当△=16k2m2﹣4（1+2k2）（2m2﹣8）=8（8k2﹣m2+4）＞0
，
要使
∴x1x2+y1y2=0
∴
∴3m2﹣8k2﹣8=0
∴
又 8k2﹣m2+4＞0
∴
∴
∴
又y=kx+m与圆心在原点的圆相切
∴
，即
，
∴所求圆：
当切线斜率不存在时，切线为
，与椭圆
交于（
，
）或（
，
），满足
综上：存在这样的圆
满足条件
∵
当k≠0时，
∴
（当
时取等）
当k=0时，
当k不存时，
∴
∴
∴
∴椭圆E：
（2）假设存在这样的圆，设该圆的切线为y=kx+m，
由
∴（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣8=0
当△=16k2m2﹣4（1+2k2）（2m2﹣8）=8（8k2﹣m2+4）＞0
，要使
∴x1x2+y1y2=0
∴
∴3m2﹣8k2﹣8=0
∴
又 8k2﹣m2+4＞0
∴
∴
∴
又y=kx+m与圆心在原点的圆相切
∴
，即，∴所求圆：
当切线斜率不存在时，切线为
，与椭圆交于（，）或（，），满足综上：存在这样的圆
满足条件 ∵
当k≠0时，
∴
（当时取等）当k=0时，
当k不存时，
∴
练习册系列答案
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（a，b＞0）过M（2，
），N（
，1）两点，O为坐标原点，
？若存在，写出该圆的方程，并求|AB|的取值范围，若不存在，说明理由。 
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，1）两点，O为坐标原点，
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，1）两点，O为坐标原点，
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