Question

等差数列{a_n}中，a₁=1，前n项和为S_n，等比数列{b_n}各项均为正数，b₁=2，且s₂+b₂=7，s₄-s₃=2．
（1）求a_n与b_n；
（2）设c_n=，T_n=c₁•c₂•c₃…c_n   求证：T（n∈N^*）．

Answer 1

【答案】分析：（1）设等差数列{a₁}的公差为d，等比数列{b_n}的公比为q，由题知：s₂+b₂=7，s₄-b₃=2，由此能求出a_n与b_n．
（2）由c_n=，知，故T_n=．再用数学归纳法证明对一切正整数成立．
解答：解：（1）设等差数列{a₁}的公差为d，等比数列{b_n}的公比为q，
由题知：s₂+b₂=7，s₄-b₃=2，
∴d+2q=5，3d-q²+1=0，
解得，q=2或q=-8（舍去），d=1，
∴a_n=1+（n-1）=n，b_n=2ⁿ．
（2）证明：∵c_n=，
∴，
T_n=．
下面用数学归纳法证明对一切正整数成立．
①当n=1时，，命题成立．
②假设当n=k时，命题当n=k时命题成立，
∴．
则当n=k+1时，≥•=
=，这就是说当n=k+1时命题成立．
综上所述原命题成立．
点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查不等式的证明，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化，合理地运用数学归纳法进行证明．