Question

（2013•广东模拟）在△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，AB=4，D、E分别为AB、AC上的点，AB⊥DE，沿DE将△ADE折起，使得平面ADE⊥平面BDEC，设AD=x．
（1）试将四棱锥A-BCED的体积u（x）用x表示出来．
（2）当x为何值时，u（x）取最大值．
（3）当u（x）取最大值时，求二面角A-CE-B的某一个三角函数值．

Answer 1

分析：（1）由Rt△ADE∽Rt△ACB得

AD

AC

=

DE

BC

，结合题中数据算出DE=

3

3

x，从而得到S_△ADE=

3

6

x2，结合S_△ABC=2

3

算出S四边形DECB=2

3

-

3

6

x2，由面面垂直的性质定理证出AD⊥平面BDEC，得AD是四棱锥A-BCED的高，再用锥体的体积公式，即可得到四棱锥A-BCED的体积u（x）的表达式；
（2）根据（1）中所得的u（x）的表达式，求导数得u′(x)=

3 3

18

(4-x2)．研究u'（x）的正负，可得u（x）的增区间是（0，2），减区间是（2，3），从而得到u（x）最大值为u（2）=

8 3

9

；
（3）过点D作DF⊥CE，交CE的延长线于F，连接AF．根据AD⊥平面BCDE利用三垂线定理，得AF⊥CE，所以∠AFD就是二面角A-CE-B的平面角．Rt△AFD中，算出DF=DEsin60°=

3

3

AD×

3

2

=1，从而得到tan∠AFD=

AD

DF

=2，即得二面角A-CE-B的正切值等于2．

解答：解：（1）根据题意，得Rt△ADE∽Rt△ACB，
∴

AD

AC

=

DE

BC

，结合Rt△ACB中，AC=4cos30°=2

3

，BC=4sin30°=2
代入得

x

2 3

=

DE

2

，解得DE=

3

3

x，
由此可得S_△ADE=

1

2

×AD×DE=

3

6

x2，而S_△ABC=

1

2

×AC×BC=

1

2

ABcos30°×ABsin30°=2

3

∴S四边形DECB=S△ABC-S△ADE=2

3

-

3

6

x2
∵平面ADE⊥平面BDEC，平面ADE∩平面BDEC=DE，AD?平面ADE且AD⊥DE
∴AD⊥平面BDEC，AD是四棱锥A-BCED的高线，
因此四棱锥A-BCED的体积V=

1

3

SDECB×AD=

3

18

(12x-x3)，(0＜x＜3)
即u（x）=

3

18

(12x-x3)，(0＜x＜3)
（2）由（1）得u′(x)=

3 3

18

(4-x2)，(0＜x＜3)，
令u′（x）＞0，得x∈（0，2）；令u′（x）＜0，得x∈（2，3）
∴u（x）的增区间是（0，2），减区间是（2，3），因此函数u（x）的最大值umax=u(2)=

8 3

9

；
（3）由（2）得当u（x）取最大值时，AD=x=2
过点D作DF⊥CE，交CE的延长线于F，连接AF
∵AD⊥平面BCDE，可得DF是AF在平面BCDE内的射影
∴由三垂线定理，可得AF⊥CE，
因此，∠AFD就是二面角A-CE-B的平面角
∵△DEF中，∠DEF=90°-30°=60°，DE=

3

3

AD=

2 3

3

∴DF=DEsin60°=

2 3

3

×

3

2

=1
由此可得Rt△AFD中，tan∠AFD=

AD

DF

=2
即二面角A-CE-B的正切值等于2．

点评：本题给出平面图形的折叠问题，求四棱锥A-BCED的体积的最大值，并求此时二面角A-CE-B的一个三角函数值，着重考查了解直角三角形、相似三角形、面面垂直的性质定理、锥体的体积公式和利用导数研究函数的单调性等知识，属于中档题．