Question

甲、乙、丙、丁4个人各写1张贺卡，放在一起，再各取1张不是自己所写的贺卡，共有多少种不同取法？

Answer 1

思路分析：方法一：排出所有的分配方案.

甲取得乙卡，分配方案如下表：

此时乙有甲、丙、丁3种取法，若乙取甲，则丙取丁、丁取丙，故有3种分配方案；

（2）甲取得丙卡，分配方案按甲、乙、丙、丁4人依序可取贺卡如下：

丙甲丁乙，丙丁甲乙，丙丁乙甲；

（3）甲取得丁卡，分配方案按甲、乙、丙、丁4人依序可取贺卡如下：

丁甲乙丙，丁丙甲乙，丁丙乙甲.

由加法原理，共有3+3+3=9种.

方法二：排除法.

先求4个人各取1张贺卡的总方法，再去掉不合题意的取法.不合题意的取法包括：

有3个人都取自己写的贺卡；有2个人取自己写的贺卡，另2个人不取自己所写的贺卡；有1个人取自己写的贺卡，另3个人不取自己所写的贺卡.

方法三：分步法.

第一步，甲取1张不是自己所写的贺卡，有3种取法；第二步，由甲取出的那张贺卡的供卡人取，也有3种取法；第三步，由剩余两人中任一人取，此时只有1种取法；第四步，最后1个人取，只有1种取法.

由乘法原理，共有3×3×1×1=9种.

解法一：根据分析，由加法原理，共有3+3+3=9种.

解法二：4个人各取1张贺卡.甲先取1张贺卡有4种方法，乙再取1张贺卡有3种方法，然后丙取1张贺卡有2种方法，最后丁仅有1种方法.由乘法原理，4个人各取1张贺卡共有4×3×2×1=24种.

3个人都取自己写的贺卡只有1种方法；

2个人取自己写的贺卡，另2个人不取自己写的贺卡方法有6种（即从4个人中选出取自己所写的贺卡的2人有甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁、丙丁）；

1个人取自己写的贺卡，另3个人不取自己所写的贺卡方法有8种.（从4个人中选出自己写的贺卡的1个人有4种方法，而3个人都不取自己写的贺卡的方法有2种方法，如下表）

因此，4个人都不取自己所写贺卡的取法有24-（1+6+8）=9种.

解法三：根据分析，由乘法原理，共有3×3×1×1=9种.

黑色陷阱：（1）方法二中容易多减一项4个人都取自己所写贺卡的取法，原因在于4个人都取自己所写贺卡与3个人都取自己所写贺卡是同一种情况.

（2）方法一与方法三中若甲先取乙卡，第二步由乙取，有3种取法，若由丙、丁中1人先取，就会误入歧途，很难断定有两种还是3种取法.