Question

已知函数.

（1）求函数在区间上的最小值；

（2）设，其中，判断方程在区间 上的解的个数（其中为无理数，约等于且有）.

 

Answer 1

（1）时，，时，，时，；（2）方程在区间上存在唯一解.

【解析】

试题分析：（1）先求出并进行因式分解得到，然后分、、三类进行讨论函数在的单调性，从而确定函数的最小值；（2）设，进而通过求导，由确定函数在的单调性，进而判断两端点函数值是正数还是负数，最终确定函数零点的个数即方程在上的解的个数.

试题解析：（1）由，得或

①当时，，所以故在上是增函数，所以

②当时，时，；时，

所以，在上是减函数，在上是增函数，故

③当时，，所以在上是减函数，故．

综上所述：时，

时，

时，

（2）令　　

由，解得;或

由，　知

故当时，，则在上是增函数

又；

由已知得：，所以，所以

故函数在上有唯一的零点，即方程在区间上存在唯一解.

考点：1.函数的最值与导数；2.方程的解与函数的零点.