Question

【题目】已知函数，.

（1）若函数在处取得极值，求的值，并求函数在处的切线方程；

（2）若在上恒成立，求的取值范围.

Answer 1

【答案】(1)答案见解析；(2).

【解析】试题分析：

（1）由函数的解析式可得：，据此利用导函数研究函数的切线可得切线方程为；

（2）原问题等价于：在区间上恒成立.

解法一（将绝对值看成一个函数的整体进行研究）：

构造函数，当时不合题意，当时，结合函数的单调性可得，据此可得：.

解法二（求命题的否定所对应的集合，再求该集合的补集）：

考查原命题的否定：在区间上有解.化简可得，其中函数在区间上无最小值，函数的最大值为，据此可得.

试题解析：

（1）的定义域是，=，

由得.

当时，=，=

函数在处的切线方程为y=0.

（2）由得在上恒成立,

即在上恒成立.

解法一（将绝对值看成一个函数的整体进行研究）：

令，

①当时，在上单调递减，，，

所以的值域为：，

因为，所以的值域为；所以不成立.

②当时，易知恒成立.

，

所以在上单调递减，在上单调递增.

因为，所以，所以，

所以在上单调递减，在上单调递增.

所以，

依题意，，所以

综上：.

解法二（求命题的否定所对应的集合，再求该集合的补集）：

命题“对都成立”的否定是“在上有解”.

在上有解在上有解，

在上有解，

令，.

，

所以在上单调递增，

又，所以无最小值.所以；

令，，

所以在上单调递增，在上单调递减.

所以,所以.

因为在上有解时，；

所以对都成立时，.