题目内容

已知向量
a
={sinx，cosx}，
b
={cosx，cosx}，(x∈R)，已知函数f（x）=
a
•(
a
+
b
)
（1）求函数f（x）的最值与最小正周期；
（2）求使不等式f(x)≥
3
2
x∈[0，π]成立的x的取值范围．
a
+
b
={sinx+cosx，2cosx}…（1分）
f（x）=
a
•(
a
+
b
)
=sinx（sinx+cosx）+2cos2x
=1+
1
2
sin2x+
1
2
(cos2x+1)
=
3
2
+
2
2
sin(2x+
π
4
)…（4分）
（1）∴f（x）的最大值是
3
2
+
2
2
，f（x）的最小值是
3
2
-
2
2
，…（6分）
f（x）的最小正周期是T=
2π
2
=π…（7分）
（2）由解知f(x)≥
3
2
?
3
2
+
2
2
sin(2x+
π
4
)≥
3
2
?sin(2x+
π
4
)≥0?kπ-
π
8
≤x≤kπ+
3π
8
，k∈Z…（10分）
又∵x∈[0，π]
∴x的取值范围是[0，
3π
8
]∪[
7π
8
，π]…（12分）
练习册系列答案
相关题目
已知向量
a
=(sinθ，
3
)，
b
=(1，cosθ)，θ∈(-
π
2
，
π
2
)．
（1）若
a
⊥
b
，求θ；
（2）求|
a
+
b
|的最大值．
已知向量
a
=(sin(x-
π
4
)，-1)，
b
=(
2
，2)且f(x)=
a
•
b
+2
（1）求f（x）的表达式．
（2）用“五点作图法”画出函数f（x）在一个周期上的图象．
（3）写出f（x）在[-π，π]上的单调递减区间．
（4）设关于x的方程f（x）=m在x∈[-π，π]上的根为x1，x2且m∈(1，
2
)，求x1+x2的值．
已知向量
a
=(sinθ，-2)，
b
=(1，cosθ)，且
a
⊥
b
，则sin2θ+cos2θ的值为（　　）
已知向量
a
=(sinθ，1)，
b
=(1，cosθ)，θ∈(-
π
2
，
π
2
)．
（1）若
a
⊥
b
，求θ的值；
（2）若已知sinθ+cosθ=
2
sin(θ+
π
4
)，利用此结论求|
a
+
b
|的最大值．
已知向量
a
=(sin(x-
π
4
)，-1)，
b
=(2，2)且f(x)=
a
•
b
+2
①用“五点法”作出函数y=f（x）在长度为一个周期的闭区间的图象．
②求函数f（x）的最小正周期和单调增区间；
③求函数f（x）的最大值，并求出取得最大值时自变量x的取值集合
④函数f（x）的图象可以由函数y=sin2x（x∈R）的图象经过怎样的变换得到？
⑤当x∈[0，π]，求函数y=2sin(x-
π
4
)的值域
解：（1）列表
（2）作图
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