Question

在中，角的对边分别是，下列命题：
①，则△ABC为钝角三角形。
②若，则C=45º.
③若，则.
④若已知E为△ABC的边BC的中点，△ABC所在平面内有一点P，满足，设，则=2，其中正确命题的个数是

A．1

B．2

C．3

D．4

Answer 1

C

专题：综合题．
分析：利用向量的数量积公式及向量夹角与三角形内角的关系，判断出①的对错；
利用正弦定理判断出②的对错；
利用余弦定理判断出③的对错；
利用三角形重心满足的向量关系及重心的度量关系判断出④的对错．
解答：解：对于①，∵
＞0所以两个向量的夹角为锐角，又两个向量的夹角为三角形的内角B的补角，所以B为钝角，所以△ABC为钝角三角形，故①对
对于②，由正弦定理得sinB=sinCsinB，所以sinC=，所以C=45°或135°，故②错
对于③，由三角形中的余弦定理，得b²+c²-2bccosA=b²+c²-bc即cosA=则A=60°，故③对
对于④，∵++=0∴P为三角形的重心，所以=2，∴λ=2，故④对．
故选C
点评：在三角形中，当条件中出现边的平方关系或角的余弦形式时常利用余弦定理解决；当条件中出现正弦形式时常考虑正弦定理解决；三角形的重心满足的向量关系：以重心为始点，三角形的三顶点为终点对应的三向量和为零向量．