Question

5．求下列函数的最值及取得最值时的x的值．
（1）y=sinx，x∈[-$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$]，当x=-$\frac{π}{4}$时，y_min=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$；当x=$\frac{π}{2}$时，y_max=1；
（2）y=2sin（$\frac{1}{2}$x-$\frac{π}{4}$），x∈[0，2π]；
（3）y=cos²x+$\sqrt{3}$sinx+$\frac{5}{4}$，x∈R．

Answer 1

分析 （1）由题意利用正弦函数的定义域和值域，求得要求式子的最值．
（2）由题意利用正弦函数的定义域和值域，求得要求式子的最值．
（3）由题意利用正弦函数的定义域和值域，二次函数的性质，求得要求式子的最值．

解答 解：（1）y=sinx，x∈[-$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$]，当x=-$\frac{π}{4}$时，y_min=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$；当x=$\frac{π}{2}$时，y_max=1，
故答案为：-$\frac{π}{4}$；-$\frac{\sqrt{2}}{2}$；$\frac{π}{2}$；1．
（2）∵y=2sin（$\frac{1}{2}$x-$\frac{π}{4}$），x∈[0，2π]，∴$\frac{x}{2}$-$\frac{π}{4}$∈[-$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$]，
故当 $\frac{x}{2}$-$\frac{π}{4}$=-$\frac{π}{4}$，即x=0时，函数y取得最小值为-$\sqrt{2}$；当 $\frac{x}{2}$-$\frac{π}{4}$=$\frac{π}{2}$，即x=$\frac{3π}{2}$时，函数y取得最大值为2；
（3）∵y=cos²x+$\sqrt{3}$sinx+$\frac{5}{4}$=1-sin²x+$\sqrt{3}$sinx+$\frac{5}{4}$=-${（sinx-\frac{\sqrt{3}}{2}）}^{2}$+2，x∈R．
故当sinx=$\frac{\sqrt{3}}{2}$时，即x=2kπ+$\frac{π}{3}$，或 x=2kπ+$\frac{2π}{3}$时，函数取得最大值为2；
当当sinx=-1时，即x=2kπ+$\frac{3π}{2}$时，函数取得最小值为$\frac{1}{4}$-$\sqrt{3}$．

点评 本题主要考查正弦函数的定义域和值域，二次函数的性质，属于中档题．