Question

【题目】如图，是圆的直径，点是圆上异于，的点，直线平面，，分别是，的中点.

（Ⅰ）记平面与平面的交线为，试判断直线与平面的位置关系，并加以证明；

（Ⅱ）设，求二面角大小的取值范围.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）平面，证明见解析；（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）证出平面，由线面平行的性质定理可证出，再由线面平行的判定定理即可求解.

（Ⅱ）法一：证出是二面角的平面角，，根据的范围即可求解.

法二：以为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，求出平面的法向量与平面的法向量，利用向量的数量积即可求解.

（Ⅰ）证明如下：

∵，平面，平面，

∴平面.

又平面，平面与平面的交线为，

∴.

而平面，平面，

∴平面.

（Ⅱ）解法一：设直线与圆的另一个交点为，连结，.

由（Ⅰ）知，，而，∴.

∵平面，∴.

而，∴平面，

又∵平面，∴，

∴是二面角的平面角.

.

注意到，∴，∴.

∵，∴，

即二面角的取值范围是.

解法二：由题意，，以为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，

设，，则，，，

，.

设平面的法向量为，

则由得，取得.

易知平面的法向量，

设二面角的大小为，易知为锐角，

，

∴，

即二面角的取值范围是.