Question

【题目】已知函数有两个极值点，且.

（1）求实数的取值范围；

（2）若，证明：.

Answer 1

【答案】（1） （2）证明见解析

【解析】

（1）在上有两个不等的零点．设，由研究在上的单调性和极值，由极值确定有零点个数，得的范围；

（2）由（1），，.，，要证，只需证，由得，然后令，把用表示，这样就转化为的函数，通过研究的函数的单调性和最值得出结论．

（1）的定义域为，

设，则在内有两个变号零点，

令得，令得

∴在递增，在递减

∴

又当时，，在没有两个零点

当时，

（令，因为，所以在递减，

）

∴使得，使得

当时，，∴递减

当时，，∴递增

当时，，∴递增；

当时，，递减

∴分别为的极小值与极大值点

综上，的取值范围为

（2）由（1）知，∴，∴

∴t时，∴

要证，只需证

∵由（1）得

∴得，即

设，则，∴，∴

∴

下面说明

即，设

∴

∴递增，∴即

∴成立