题目内容
【题目】已知函数
有两个极值点
，且
.
（1）求实数
的取值范围；
（2）若
，证明：
.
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
（1）
在
上有两个不等的零点．设
，由
研究
在上的单调性和极值，由极值确定有零点个数，得
的范围；
（2）由（1）
，
，
.，
，要证，只需证
，由
得
，然后令
，把
用
表示，这样
就转化为的函数，通过研究的函数的单调性和最值得出结论．
（1）
的定义域为
，
设
，则
在内有两个变号零点，
令
得
，令
得
∴在
递增，在
递减
∴
又当
时，
，在没有两个零点
当
时，
（令
，因为
，所以
在递减，
）
∴
使得
，
使得
当
时，
，∴递减
当
时，
，∴递增
当
时，
，∴递增；
当
时，，递减
∴
分别为的极小值与极大值点
综上，的取值范围为
（2）由（1）知，∴
，∴
∴t
时，∴
要证，只需证
∵由（1）
得
∴
得
，即
设
，则
，∴
，∴
∴
下面说明
即
，设
∴
∴递增，∴
即
∴
成立
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