Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的离心率e=

2

2

，左、右焦点分别为F₁、F₂，抛物线y2=4

2

x的焦点F恰好是该椭圆的一个顶点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知圆M：x2+y2=

2

3

的切线l与椭圆相交于A、B两点，那么以AB为直径的圆是否经过定点？如果是，求出定点的坐标；如果不是，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）由离心率为

2

2

得

c

a

=

2

2

，由抛物线y2=4

2

x的焦点F(

2

，0)是该椭圆的一个顶点，得a=

2

，进而可得c，由a²=b²+c²可求b；
（2）先求得直线l的斜率不存在及斜率为0时圆的方程，由此可得两圆所过公共点为原点O，当直线l的斜率存在且不为零时，设直线l的方程为y=kx+m，代入椭圆方程消掉y得x的二次方程，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由韦达定理、向量数量积可得

OA

•

OB

的表达式，再根据线圆相切可得k，m的关系式，代入上述表达式可求得

OA

•

OB

=0，由此可得结论；

解答：解：（1）因为椭圆C的离心率e=

2

2

，所以

c

a

=

2

2

，即a=

2

c．
因为抛物线y2=4

2

x的焦点F(

2

，0)恰好是该椭圆的一个顶点，
所以a=

2

，所以c=1，b=

a2-c2

=1．
所以椭圆C的方程为

x2

2

+y2=1．
（2）（i）当直线l的斜率不存在时，
因为直线l与圆M相切，故其中的一条切线方程为x=

6

3

．
由

x= 6 3 x2 2 +y2=1

，可得A(

6

3

，

6

3

)，B(

6

3

，-

6

3

)，
则以AB为直径的圆的方程为(x-

6

3

)2+y2=

2

3

．
（ii）当直线l的斜率为零时，
因为直线l与圆M相切，所以其中的一条切线方程为y=-

6

3

．
由

y=- 6 3 x2 2 +y2=1

，可得A(

6

3

，-

6

3

)，B(-

6

3

，-

6

3

)，
则以AB为直径的圆的方程为x2+(y+

6

3

)2=

2

3

．
显然以上两圆都经过点O（0，0）．
（iii）当直线l的斜率存在且不为零时，设直线l的方程为y=kx+m．
由

y=kx+m x2 2 +y2=1

消去y，得（2k²+1）x²+4kmx+2m²-2=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x1+x2=

-4km

2k2+1

，x1x2=

2m2-2

2k2+1

．
所以y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）=k2x1x2+km(x1+x2)+m2=

m2-2k2

2k2+1

．
所以

OA

•

OB

=x1x2+y1y2=

3m2-2k2-2

2k2+1

①，
因为直线l和圆M相切，
所以圆心到直线l的距离d=

|m|

1+k2

=

6

3

，整理，得m2=

2

3

(1+k2)，②
将②代入①，得

OA

•

OB

=0，显然以AB为直径的圆经过定点O（0，0），
综上可知，以AB为直径的圆过定点（0，0）．

点评：本题考查椭圆的方程、圆的方程及直线与椭圆的位置关系，考查向量的数量积运算，考查学生解决问题的能力．