Question

18．设集合$A=[1，\frac{3}{2}）$，$B=[\frac{3}{2}，2]$，函数$f（x）=\left\{{\begin{array}{l}{x-\frac{1}{2}，}&{x∈A}\\{2（2-x），}&{x∈B}\end{array}}\right.$，若x₀∈A，且$f[f（{x_0}）+1]∈[{0，\frac{1}{2}}）$，则x₀的取值范围是（　　）

• A． （$1，\frac{5}{4}$]
• B． （$\frac{5}{4}，\frac{3}{2}$]
• C． $（\frac{5}{4}，\frac{13}{8}）$
• D． （$\frac{5}{4}，\frac{3}{2}$）

Answer 1

分析 利用当x₀∈A时，f[f （x₀）+1]∈[0，$\frac{1}{2}$），列出不等式，解出x₀的取值范围．

解答 解：∵1≤x₀＜$\frac{3}{2}$，∴f（x₀）+1=x₀ -$\frac{1}{2}$+1∈[$\frac{3}{2}$，2]⊆B，
∴f[f（x₀）+1]=2（2-f（x₀）-1）=2[1-（x₀-$\frac{1}{2}$）]=2（$\frac{3}{2}$-x₀）．
∵$f[f（{x_0}）+1]∈[{0，\frac{1}{2}}）$，
∴0≤2（$\frac{3}{2}$-x₀）＜$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{5}{4}$＜x₀≤$\frac{3}{2}$．
又∵1≤x₀＜$\frac{3}{2}$，
∴$\frac{5}{4}$＜x₀＜$\frac{3}{2}$． 
故选：D．

点评 本题考查求函数值的方法，以及不等式的解法，属于中档题．