Question

【题目】函数f（x）= ，若曲线f（x）在点（e，f（e））处的切线与直线e2x﹣y+e=0垂直（其中e为自然对数的底数）．
（1）若f（x）在（m，m+1）上存在极值，求实数m的取值范围；
（2）求证：当x＞1时， ＞ ．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f′（x）= ，

f（x）在点（e，f（e））处的切线斜率为﹣ ，

由切线与直线e2x﹣y+e=0垂直，

可得f′（e）=﹣ ，即有﹣ =﹣

解得得a=1，

∴f（x）= ，f′（x）=﹣ （x＞0）

当0＜x＜1，f′（x）＞0，f（x）为增函数；

当x＞1时，f′（x）＜0，f（x）为减函数．

∴x=1是函数f（x）的极大值点

又f（x）在（m，m+1）上存在极值

∴m＜1＜m+1 即0＜m＜1

故实数m的取值范围是（0，1）

（2）解：不等式 ＞

即为 ＞

令g（x）=

则g′（x）= ，

再令φ（x）=x﹣lnx，则φ′（x）=1﹣ = ，

∵x＞1∴φ′（x）＞0，φ（x）在（1，+∞）上是增函数，

∴φ（x）＞φ（1）=1＞0，g′（x）＞0，

∴g（x）在（1，+∞）上是增函数，

∴x＞1时，g（x）＞g（1）=2

故 ＞ ．

令h（x）= ，则h′（x）= ，

∵x＞1∴1﹣ex＜0，h′（x）＜0，即h（x）在（1，+∞）上是减函数

∴x＞1时，h（x）＜h（1）= ，

所以 ＞h（x），即 ＞

【解析】（1）求出f（x）的导数，求得切线的斜率，由两直线垂直的条件可得a=1，求导数，求单调区间和极值，令m＜1＜m+1，解不等式即可得到取值范围；（2）不等式 ＞ 即为 ＞ ，令g（x）= ，通过导数，求得 ＞ ，令h（x）= ，运用导数证得h（x）＜h（1）= ，原不等式即可得证．
【考点精析】关于本题考查的函数的极值与导数，需要了解求函数的极值的方法是:（1）如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值（2）如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值才能得出正确答案．