Question

【题目】如图，四边形ABCD中，△BCD为正三角形，AD=AB=2， ，AC与BD中心O点，将△ACD沿边AC折起，使D点至P点，已知PO与平面ABCD所成的角为60°．
（1）求证：平面PAC⊥平面PDB；
（2）求已知二面角A﹣PB﹣D的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）解：证明：∵△BCD为正三角形，AD=AB=2，易知O为BD的中点，则AC⊥BD，

又PO平面PBD，所以AC⊥平面PBD，∵AC平面PAC，∴平面PAC⊥平面PD B．

（2）解：过P作DB的垂线，垂足为H，则PH垂直平面ABCD，∠PHO=60°，

以OB为x后，OC为y轴，过O垂直于平面ABC向上的直线为z轴建立如图所示空间直角坐标系，

则A（0，﹣1，0）， ， ，

易知平面PBD的法向量为 ， ， ，

设平面ABP的法向量为 ，

则由 得 ，

取 ， ，

二面角A﹣PB﹣D的余弦值为 ．

【解析】（1）易知O为BD的中点，则AC⊥BD，即AC⊥平面PBD，即平面PAC⊥平面PDB．（2）过P作DB的垂线，垂足为H，则PH垂直平面ABCD，∠PHO=60°，以OB为x后，OC为y轴，过O垂直于平面ABC向上的直线为z轴建立如图所示空间直角坐标系，利用向量法求解．
【考点精析】掌握平面与平面垂直的判定是解答本题的根本，需要知道一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直．