Question

【题目】已知椭圆C：（a＞0，b＞0）的短轴长为2 ， 且离心率e= ．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设F1、F2是椭圆的左、右焦点，过F2的直线与椭圆相交于P、Q两点，求△F1PQ面积的最小值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵椭圆C：（a＞0，b＞0）的短轴长为2，且离心率e=，
∴，解得a=2，b=1，
∴椭圆C的方程是．
（Ⅱ）设直线PQ的方程为x=ty+1，
代入，得（3t2+4）y2+6ty﹣9=0，
∴，，
设P（x1 ， y1）＜Q（x2 ， y2），
则==|y1﹣y2|=12，
令u=∈[1，+∞），
则=，
∵y=3在[1，+∞）上是增函数，
∴当μ=1，即t=0时，（）min=3．
∴△F1PQ面积的最小值是3．
【解析】（Ⅰ）由椭圆的短轴长为2 ， 且离心率e= ， 列出方程组，求出a=2，b=1，由此能求出椭圆C的方程．
（Ⅱ）设直线PQ的方程为x=ty+1，代入 ， 得（3t2+4）y2+6ty﹣9=0，由此利用韦达定理、弦长公式、换元法、函数单调性，结合已知条件能求出△F1PQ面积的最小值．