Question

【题目】在平面直角坐标系xOy中，已知P是直线上的一个动点，圆Q的方程为：设以线段PQ为直径的圆E与圆Q交于C，D两点．

证明：PC，PD均与圆Q相切；

当时，求点P的坐标；

求线段CD长度的最小值．

Answer 1

【答案】（1）见解析（2） (3)

【解析】

（1）根据题意，连接CQ、CD，分析易得PC⊥CQ，PD⊥DQ，又由C、D都在圆Q上，即可得证明；

（2）根据题意，设P（m，m+4），由直线与圆的位置关系可得|PQ|2=PC2+CQ2=63+9=72，由两点间距离公式可得（m﹣4）2+（m+8）2=72，解可得m的值，即可得答案；

（3）根据题意，设PQ=t，求出PC的值，据此可得CD=2×=6，分析可得当t取得最小值时，CD的值最小，进而可得当PQ与直线x﹣y+4=0垂直时，PQ最小，计算即可得答案．

证明：根据题意，连接CQ、CD，

圆E是以线段PQ为直径的圆，则，即，，

又由C、D都在圆Q上，

则PC，PD均与圆Q相切；

根据题意，设，

圆Q的方程为：，圆心，半径，

当时，，

则有，即

解可得：，

则P的坐标为；

根据题意，设，则，

则，

分析可得：当t取得最小值时，CD的值最小，

当PQ与直线垂直时，PQ最小，且PQ的最小值为，

此时CD取得最小值，且其最小值为．