Question

（2013•泉州模拟）在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为：

x=1- 2 2 t y= 2 2 t

（t为参数）．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=2

2

sin(θ+

π

4

)．
（Ⅰ）求曲线C的平面直角坐标方程；
（Ⅱ）设直线l与曲线C交于点M，N，若点P的坐标为（1，0），求|PM|•|PN|的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）把给出的等式右边展开两角和的正弦公式，两边同时乘以ρ后代入公式x=ρcosθ，y=ρsinθ，整理即可得到答案；
（Ⅱ）直接把直的参数方程代入曲线C的方程，化为关于t的一元二次方程后利用参数t的几何意义可得结论．

解答：解：（Ⅰ）由ρ=2

2

sin(θ+

π

4

)，
得ρ=2

2

(sinθcos

π

4

+cosθsin

π

4

)=2

2

(

2

2

sinθ+

2

2

cosθ)=2sinθ+2cosθ．
所以ρ²=2ρsinθ+2ρcosθ．
即x²+y²-2x-2y=0．
所以曲线C的平面直角坐标方程为x²+y²-2x-2y=0；
（Ⅱ）由直线l的参数方程为：

x=1- 2 2 t y= 2 2 t

（t为参数），
知直线l是过点P（1，0），且倾斜角为

3π

4

的直线，
把直线的参数方程代入曲线C得，t2-

2

t-1=0．
所以|PM|•|PN|=|t₁t₂|=1．

点评：本题考查了直线的参数方程，考查了简单曲线的极坐标方程，考查了直线和圆的关系，解答此题的关键是熟练掌握直线参数方程中参数的几何意义，是中档题．