Question

9．已知角α终边经过点P（3，2）．
（Ⅰ）求$\frac{sin（π-α）+4cos（π+α）}{2sin（\frac{π}{2}-α）-3cos（\frac{π}{2}+α）}$的值；
（Ⅱ）求tan（2α+$\frac{π}{4}$）的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由角α的终边经过点P（1，-2），利用任意角的三角函数定义求出sinα与cosα的值，代入原式计算即可求出值．
（Ⅱ）利用同角三角函数基本关系式可求tanα，利用二倍角的正切函数公式可求tan2α，进而利用两角和的正切函数公式及特殊角的三角函数值即可求得tan（2α+$\frac{π}{4}$）的值．

解答 （本题满分为12分）
解：（Ⅰ）∵角α的终边经过点P（3，2），
∴sinα=$\frac{2}{\sqrt{13}}$，cosα=$\frac{3}{\sqrt{13}}$，
∴$\frac{sin（π-α）+4cos（π+α）}{2sin（\frac{π}{2}-α）-3cos（\frac{π}{2}+α）}$=$\frac{sinα-4cosα}{2cosα+3sinα}$=$\frac{\frac{2}{\sqrt{13}}-\frac{12}{\sqrt{13}}}{\frac{6}{\sqrt{13}}+\frac{6}{\sqrt{13}}}$=-$\frac{5}{6}$；
（Ⅱ）∵tanα=$\frac{sinα}{cosα}$=$\frac{2}{3}$，tan2α=$\frac{2tanα}{1-ta{n}^{2}α}$=$\frac{12}{5}$，
∴tan（2α+$\frac{π}{4}$）=$\frac{tan2α+1}{1-tan2α}$=-$\frac{17}{7}$．

点评 本题主要考查了任意角的三角函数定义，同角三角函数基本关系式，二倍角的正切函数公式，两角和的正切函数公式及特殊角的三角函数值在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．