题目内容
5．某创业团队拟生产A、B两种产品，根据市场预测，A产品的利润与投资额成正比（如图1），B产品的利润与投资额的算术平方根成正比（如图2）．（注：利润与投资额的单位均为万元）（1）分别将A、B两种产品的利润f（x）、g（x）表示为投资额x的函数；
（2）该团队已筹到10万元资金，并打算全部投入A、B两种产品的生产，问：当B产品的投资额为多少万元时，生产A、B两种产品能获得最大利润，最大利润为多少？
分析 （1）由A产品的利润与投资额成正比，B产品的利润与投资额的算术平方根成正比，结合函数图象，我们可以利用待定系数法来求两种产品的收益与投资的函数关系；
（2）由（1）的结论，我们设B产品的投资额为x万元，则A产品的投资额为10-x万元．这时可以构造出一个关于收益y的函数，然后利用求函数最大值的方法进行求解．
解答 解：（1）f（x）=k1x，g（x）=k2$\sqrt{x}$，
f（1）=0.25=k1，g（4）=2k2=2.5，
∴f（x）=0.25x（x≥0），g（x）=1.25$\sqrt{x}$（x≥0），
（2）设B产品的投资额为x万元，则A产品的投资额为10-x万元．
y=f（10-x）+g（x）=0.25（10-x）+1.25$\sqrt{x}$（0≤x≤10），
令t=$\sqrt{x}$，则y=-0.25t2+1.25t+2.5，
所以当t=2.5，即x=6.25万元时，收益最大，ymax=$\frac{65}{16}$万元．
点评 函数的实际应用题，我们要经过析题→建模→解模→还原四个过程，在建模时要注意实际情况对自变量x取值范围的限制，解模时也要实际问题实际考虑．将实际的最大（小）化问题，利用函数模型，转化为求函数的最大（小）是最优化问题中，最常见的思路之一．
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