Question

【题目】已知数列，满足，数列前项和为.

（1）若数列是首项为正数，公比为的等比数列.

①求证：数列为等比数列；

②若对任意恒成立，求的值；

（2）已知为递增数列，即.若对任意，数列中都存在一项使得，求证：数列为等差数列.

Answer 1

【答案】(1) ①证明见解析；②.

(2)证明见解析.

【解析】分析：（1）①由题意得，又得，故可得结论成立．②由题意可得对任意恒成立，结合反证法可得．（2）根据可得，再根据数列的单调性可得，故得，从而可证得，所以数列为等差数列．

详解：（1）①∵数列是公比为的等比数列，

∴．

又为定值，

∴数列为等比数列．

②由题意得，即 ，

整理得对任意恒成立，

∵，

∴.

否则若，，则当时，，与题意矛盾.

故．

（2）因为数列中都存在一项使得，

即．

又数列为递增数列，

所以，

所以，

因此，

所以数列为等差数列．