Question

【题目】已知动圆过点，且与圆相内切.

（I）求动圆的圆心的轨迹方程；

（II）设直线（其中与（1）中所求轨迹交于不同两点，D，与双曲线交于不同两点，问是否存在直线，使得向量，若存在，指出这样的直线有多少条？若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】(Ⅰ) (Ⅱ) 满足条件的直线共有9条．

【解析】试题分析：（I）由|AM|=4<R得点A（-2，0）在圆M内，设动圆C的半径为r，依题意得r=|CA|，且|CM|=R-r，|CM+|CA|=8>|AM|，由定义得圆心C的轨迹是中心在原点，以A，M两点为焦点，长轴长为8的椭圆，再根据a，b，c的关系解答即可．
（II）直线l： 与联立得，同理得，又因为，所以，即，又其中k，m∈Z即可求出k，m的数值．

试题解析：

（1）圆， 圆心的坐标为，半径.

∵，∴点在圆内.

设动圆的半径为，圆心为，依题意得，且，

即.

∴圆心的轨迹是中心在原点，以两点为焦点，长轴长为的椭圆,

设其方程为, 则.∴.

∴所求动圆的圆心的轨迹方程为.

(2)由 消去化简整理得： .

设， ，则.

. ①

由 消去化简整理得： .

设，则,

. ②

∵，∴，即，

∴.∴或.解得或.

当时,由①、②得

∵Z,∴的值为 ， ， ;

当，由①、②得 ，

∵Z,∴.

∴满足条件的直线共有9条．